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空包 二元关系的定义及其在集合 A 上的应用
2024-05-31
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空包 二元关系的定义及其在集合 A 上的应用时，称二元关系为A上的二元关系。空关系是一种特殊关系，指关系集A×B中的子集∅。个不同的二元关系。当然，大部分的关系没有什么实际意义，但是,对于任意集合A都有3种特殊的关系，它们是:因为A是非空集合，所以容易验证A上的空关系二元关系的性质播报设R是集合A上的一个二元关系，即
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定义 1 设 A 和 B 为两个集合，R 为 A×B 的任意子集，即
则称 R 是从集合 A 到集合 B 的二元关系，或者简称为从 A 到 B 的二元关系。
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称 R 为空关系。
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这被称为完整关系。
什么时候
什么时候
是 A 上的二元关系。
什么时候
时间，记住
这被称为 A 上的恒等关系。
空关系是一种特殊的关系，它指的是关系集 A×B 的子集 ∅。非空集的空关系是反自反、对称、反对称和传递的，但不自反；空集的空关系是自反、反自反、对称、反对称和传递的。非空集的空关系矩阵的所有元素均为 0。[1]
定义 2 集合 A 上的关系是从 A 到 A 的关系。
集合 A 与自身的关系特别令人感兴趣。
通常，集合 A 上不同关系的数量取决于 A 的基数。如果 |A|=n，则 |A×A|=n2，因此 A 上关系的子集为
由于子集表示 A 上的关系，因此 A 上的关系具有
不同的二元关系。
例如
，那么我们可以在 A 上定义
当然，大部分关系都没有什么实际意义，但对于任意集合A，有3种特殊关系，分别是：
定义3：
是 A 上的空关系，称为
是 A 上的全关系，称为
是 A 上的相等关系（或恒等关系）。[2]
分析报告示例
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示例 1：假设
R 是 P(A) 上的包含关系，
但
有
。
。
例2 给定一个非空集A，讨论全局关系A×A和集合A上的空关系。
自然。
解决方案：（1）全局关系
显然存在反身性、对称性和传递性空包，但显然不存在反反身性。
至于反对称性，它取决于集合 A 中元素的数量。
情景 1：如果
那么显然其上的全局关系是反对称的。
情景 2：如果
，那么显然其上的全局关系不具有反对称性。
（2）因为A是非空集，所以很容易验证A上的空关系。
它具有对称性、传递性、反反身性和反对称性，但没有反身性。[3]
二元关系性质的报告
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令 R 为集合 A 上的二元关系，即
，然后
（1）如果
，满足
那么关系 R 就被称为是自反的，或者 R 被称为是 A 上的自反关系。
（2）如果
，满足
那么关系 R 就被称为是反自反的，或者 R 被称为是 A 上的反自反关系。
（3）如果
，满足
有
那么关系 R 就被称为具有对称性。或者说 R 是 A 上的对称关系。
（4）如果
空包，满足
和
有
，则称关系R是反对称的，或者称R是A上的反对称关系。
（5）如果
，满足
和
有时，
那么关系 R 就被称为是传递关系，或者 R 被称为是 A 上的传递关系。[4]
注意：1. 自反关系一定不能是反自反的，反自反关系一定不能是自反的，也就是说，自反性和反自反性不能共存于同一个关系中。但是，有些关系既不是自反的，也不是反自反的。
2. 对称和反对称可以共存于同一关系中。也存在既不对称也不反对称的关系。[3]
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